Analytische Fortsetzung – Wikipedia

Erweiterung des Bereichs einer analytischen Funktion (Mathematik)

In der komplexen Analyse ist ein Zweig der Mathematik, analytische Fortsetzung ist eine Technik, um den Definitionsbereich einer bestimmten analytischen Funktion zu erweitern. Durch analytische Fortsetzung gelingt es häufig, weitere Werte einer Funktion zu definieren, beispielsweise in einem neuen Bereich, in dem eine unendliche Reihenrepräsentation, für die sie ursprünglich definiert wurde, divergiert.

Die schrittweise Fortsetzungstechnik kann jedoch auf Schwierigkeiten stoßen. Diese können im Wesentlichen topologischer Natur sein und zu Inkonsistenzen führen (Definition von mehr als einem Wert). Sie können alternativ mit dem Vorhandensein von Singularitäten zu tun haben. Der Fall mehrerer komplexer Variablen ist ziemlich unterschiedlich, da Singularitäten dann keine isolierten Punkte sein müssen und ihre Untersuchung ein Hauptgrund für die Entwicklung der Garbenkohomologie war.

Erste Diskussion[edit]

Analytische Fortsetzung des natürlichen Logarithmus (Imaginärteil)

Annehmen f ist eine Analysefunktion, die für eine nicht leere offene Teilmenge definiert ist U. der komplexen Ebene

C..{ displaystyle mathbb {C}.}

Wenn V. ist eine größere offene Teilmenge von

C.,{ displaystyle mathbb {C},}

enthält U., und F. ist eine analytische Funktion, die auf definiert ist V. so dass

F.((z)=f((z)∀z∈U.,{ displaystyle F (z) = f (z) qquad forall z in U,}

dann F. wird eine analytische Fortsetzung von genannt f. Mit anderen Worten, die Einschränkung von F. zu U. ist die Funktion f wir haben angefangen mit.

Analytische Fortsetzungen sind im folgenden Sinne einzigartig: if V. ist die verbundene Domäne zweier analytischer Funktionen F.1 und F.2 so dass U. ist enthalten in V. und für alle z im U.

F.1((z)=F.2((z)=f((z),{ displaystyle F_ {1} (z) = F_ {2} (z) = f (z),}

dann

F.1=F.2{ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}

auf alle V.. Das ist weil F.1 – – F.2 ist eine analytische Funktion, die in der offenen, verbundenen Domäne verschwindet U. von f und muss daher auf seiner gesamten Domäne verschwinden. Dies folgt direkt aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Anwendungen[edit]

Eine übliche Methode zum Definieren von Funktionen in komplexen Analysen besteht darin, die Funktion zunächst nur in einer kleinen Domäne anzugeben und sie dann durch analytische Fortsetzung zu erweitern.

In der Praxis wird diese Fortsetzung häufig durchgeführt, indem zuerst eine Funktionsgleichung für die kleine Domäne erstellt und diese Gleichung dann zur Erweiterung der Domäne verwendet wird. Beispiele sind die Riemannsche Zetafunktion und die Gammafunktion.

Das Konzept einer universellen Abdeckung wurde zuerst entwickelt, um eine natürliche Domäne für die analytische Fortsetzung einer analytischen Funktion zu definieren. Die Idee, die maximale analytische Fortsetzung einer Funktion zu finden, führte wiederum zur Entwicklung der Idee von Riemannschen Oberflächen.

Gearbeitetes Beispiel[edit]

Analytische Fortsetzung von U. (zentriert bei 1) bis V. (zentriert bei a = (3 + i) / 2)

Beginnen Sie mit einer bestimmten Analysefunktion

f{ displaystyle f}

. In diesem Fall ist es durch eine Potenzreihe gegeben, die bei zentriert ist

z=1{ displaystyle z = 1}

::

f((z)=∑k=0∞((– –1)k((z– –1)k.{ displaystyle f (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} (z-1) ^ {k}.}

Nach dem Cauchy-Hadamard-Theorem beträgt sein Konvergenzradius 1. Das heißt,

f{ displaystyle f}

ist auf dem offenen Set definiert und analytisch

U.={|z– –1|1}}{ displaystyle U = {| z-1 |

das hat Grenze

∂U.={|z– –1|=1}}{ displaystyle partielles U = {| z-1 | = 1 }}

. In der Tat divergiert die Serie bei

z=0∈∂U.{ displaystyle z = 0 in partielles U}

.

Stellen Sie sich vor, wir wissen das nicht

f((z)=1/.z{ displaystyle f (z) = 1 / z}

und konzentrieren Sie sich darauf, die Potenzreihen an einem anderen Punkt neu zu zentrieren

ein∈U.{ displaystyle a in U}

::

f((z)=∑k=0∞eink((z– –ein)k.{ displaystyle f (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} (za) ^ {k}.}

Wir werden das berechnen

eink{ displaystyle a_ {k}}

und bestimmen, ob diese neue Potenzreihe in einem offenen Satz konvergiert

V.{ displaystyle V}

was nicht enthalten ist in

U.{ displaystyle U}

. Wenn ja, werden wir analytisch fortfahren

f{ displaystyle f}

in die Region

U.∪V.{ displaystyle U cup V}

das ist streng größer als

U.{ displaystyle U}

.

Die Entfernung von

ein{ displaystyle a}

zu

∂U.{ displaystyle partielles U}

ist

ρ=1– –|ein– –1|>0{ displaystyle rho = 1- | a-1 |> 0}

0rρ{ displaystyle 0

;; Lassen

D.{ displaystyle D}

sei die Scheibe des Radius

r{ displaystyle r}

um

ein{ displaystyle a}

;; und lass

∂D.{ displaystyle partielles D}

sei seine Grenze. Dann

D.∪∂D.⊂U.{ displaystyle D cup partielle D subset U}

. Verwenden der Differenzierungsformel von Cauchy zur Berechnung der neuen Koeffizienten,

eink=f((k)((ein)k!=12πich∫∂D.f((ζ)dζ((ζ– –ein)k+1=12πich∫∂D.∑n=0∞((– –1)n((ζ– –1)ndζ((ζ– –ein)k+1=12πich∑n=0∞((– –1)n∫∂D.((ζ– –1)ndζ((ζ– –ein)k+1=12πich∑n=0∞((– –1)n∫02π((ein+reichθ– –1)nricheichθdθ((reichθ)k+1=12π∑n=0∞((– –1)n∫02π((ein– –1+reichθ)ndθ((reichθ)k=12π∑n=0∞((– –1)n∫02π∑m=0n((nm)((ein– –1)n– –m((reichθ)mdθ((reichθ)k=((– –1)kein– –k– –1{ displaystyle { begin {align} a_ {k} & = { frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} \ & = { frac {1} {2 pi i }} int _ { partielles D} { frac {f ( zeta) d zeta} {( zeta -a) ^ {k + 1}}} \ & = { frac {1} {2 pi i}} int _ { partielles D} { frac { sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} ( zeta -1) ^ {n} d zeta} {( zeta -a) ^ {k + 1}}} \ & = { frac {1} {2 pi i}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} int _ { partielles D} { frac {( zeta -1) ^ {n} d zeta} {( zeta -a) ^ {k + 1}}} \ & = { frac {1} {2 pi i}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} int _ {0} ^ {2 pi} { frac { (a + re ^ {i theta} -1) ^ {n} rie ^ {i theta} d theta} {(re ^ {i theta}) ^ {k + 1}}} \ & = { frac {1} {2 pi}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {( a-1 + re ^ {i theta}) ^ {n} d theta} {(re ^ {i theta}) ^ {k}}} \ & = { frac {1} {2 pi }} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} int _ {0} ^ {2 pi} { frac { sum _ {m = 0} ^ {n } { binom {n} {m}} (a-1) ^ {nm} (re ^ {i theta}) ^ {m} d theta} {(re ^ {i theta}) ^ {k }}} \ & = (- 1) ^ {k} a ^ {- k-1} end {align}}}

Das ist,

f((z)=∑k=0∞eink((z– –ein)k=∑k=0∞((– –1)kein– –k– –1((z– –ein)k=1ein∑k=0∞((1– –zein)k,{ displaystyle f (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} (za) ^ {k} = sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} a ^ {- k-1} (za) ^ {k} = { frac {1} {a}} sum _ {k = 0} ^ { infty} left (1 – { frac {z} {a}} right) ^ {k},}

welches Konvergenzradius hat

|ein|{ displaystyle | a |}

, und

V.={|z– –ein||ein|}}.{ displaystyle V = {| za |

Wenn wir uns entscheiden

ein∈U.{ displaystyle a in U}

mit

|ein|>1{ displaystyle | a |> 1}

V.{ displaystyle V}

ist keine Teilmenge von

U.{ displaystyle U}

und ist tatsächlich flächenmäßig größer als

U.{ displaystyle U}

. Das Diagramm zeigt das Ergebnis für

ein=12((3+ich).{ displaystyle a = { tfrac {1} {2}} (3 + i).}

Wir können den Prozess fortsetzen: auswählen

b∈U.∪V.{ displaystyle b in U cup V}

, zentrieren Sie die Potenzreihe erneut unter

b{ displaystyle b}

und bestimmen, wo die neue Potenzreihe konvergiert. Wenn die Region Punkte enthält, die nicht in sind

U.∪V.{ displaystyle U cup V}

, dann werden wir analytisch fortgesetzt haben

f{ displaystyle f}

noch weiter. Diese besondere

f{ displaystyle f}

kann analytisch bis zur punktierten komplexen Ebene fortgesetzt werden

C.∖{0}}.{ displaystyle mathbb {C} setminus {0 }.}

Formale Definition eines Keims[edit]

Die unten definierte Potenzreihe wird durch die Idee von a verallgemeinert Keim. Die allgemeine Theorie der analytischen Fortsetzung und ihre Verallgemeinerungen ist als Garbentheorie bekannt. Lassen

f((z)=∑k=0∞αk((z– –z0)k{ displaystyle f (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}

eine auf der Festplatte konvergierende Potenzreihe sein D.r((z0), r > 0, definiert durch

D.r((z0)={z∈C.::|z– –z0|r}}{ displaystyle D_ {r} (z_ {0}) = {z in mathbb {C}: | z-z_ {0} |

.

Beachten Sie, dass wir hier und unten ohne Verlust der Allgemeinheit immer davon ausgehen, dass ein Maximum wie z r wurde gewählt, auch wenn das r ist ∞. Beachten Sie auch, dass es äquivalent wäre, mit einer Analysefunktion zu beginnen, die für einen kleinen offenen Satz definiert ist. Wir sagen, dass der Vektor

G=((z0,α0,α1,α2,…){ displaystyle g = (z_ {0}, alpha _ {0}, alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots)}

ist ein Keim von f. Das Base G0 von G ist z0, das Stengel von G ist (α0, α1, α2, …) und die oben G1 von G ist α0. Die Spitze von G ist der Wert von f beim z0.

Beliebiger Vektor G = (z0, α0, α1, …) ist ein Keim, wenn er eine Potenzreihe einer analytischen Funktion darstellt z0 mit einem gewissen Konvergenzradius r > 0. Daher können wir sicher von der Menge der Keime sprechen

G{ displaystyle { mathcal {G}}}

.

Die Topologie des Keimsatzes[edit]

Lassen G und h Keime sein. Wenn

|h0– –G0|r{ displaystyle | h_ {0} -g_ {0} |

wo r ist der Konvergenzradius von G und wenn die Potenzreihe definiert durch G und h Geben Sie identische Funktionen am Schnittpunkt der beiden Domänen an, dann sagen wir das h wird generiert von (oder kompatibel mit) Gund wir schreiben Gh. Diese Kompatibilitätsbedingung ist weder transitiv, symmetrisch noch antisymmetrisch. Wenn wir die Beziehung durch Transitivität erweitern, erhalten wir eine symmetrische Beziehung, die daher auch eine Äquivalenzbeziehung für Keime ist (aber keine Ordnung). Diese Erweiterung durch Transitivität ist eine Definition der analytischen Fortsetzung. Die Äquivalenzbeziehung wird bezeichnet

≅{ displaystyle cong}

.

Wir können eine Topologie definieren

G{ displaystyle { mathcal {G}}}

. Lassen r > 0 und lassen

U.r((G)={h∈G::G≥h,|G0– –h0|r}}.{ displaystyle U_ {r} (g) = {h in { mathcal {G}}: g geq h, | g_ {0} -h_ {0} |

Die Sätze U.r((G), für alle r > 0 und

G∈G{ displaystyle g in { mathcal {G}}}

Definieren Sie eine Basis offener Mengen für die Topologie auf

G{ displaystyle { mathcal {G}}}

.

Eine verbundene Komponente von

G{ displaystyle { mathcal {G}}}

(dh eine Äquivalenzklasse) heißt a Garbe. Wir stellen auch fest, dass die Karte durch definiert ist

ϕG((h)=h0::U.r((G)→C.,{ displaystyle phi _ {g} (h) = h_ {0}: U_ {r} (g) bis mathbb {C},}

wo r ist der Konvergenzradius von Gist ein Diagramm. Der Satz solcher Diagramme bildet einen Atlas für

G{ displaystyle { mathcal {G}}}

daher

G{ displaystyle { mathcal {G}}}

ist eine Riemannsche Oberfläche.

G{ displaystyle { mathcal {G}}}

wird manchmal die genannt universelle analytische Funktion.

Beispiele für die analytische Fortsetzung[edit]

L.((z)=∑k=1∞((– –1)k+1k((z– –1)k{ displaystyle L (z) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k + 1}} {k}} (z-1) ^ {k}}

ist eine Potenzreihe, die dem natürlichen Logarithmus in der Nähe entspricht z = 1. Diese Potenzreihe kann in einen Keim verwandelt werden

G=((1,0,1,– –12,13,– –14,15,– –16,…){ displaystyle g = left (1,0,1, – { frac {1} {2}}, { frac {1} {3}}, – { frac {1} {4}}, { frac {1} {5}}, – { frac {1} {6}}, ldots right)}

Dieser Keim hat einen Konvergenzradius von 1, und so gibt es eine Garbe S. entsprechend. Dies ist die Garbe der Logarithmusfunktion.

Der Eindeutigkeitssatz für analytische Funktionen erstreckt sich auch auf Garben analytischer Funktionen: Wenn die Garbe einer analytischen Funktion den Keim Null enthält (dh die Garbe ist in einer bestimmten Nachbarschaft einheitlich Null), ist die gesamte Garbe Null. Mit diesem Ergebnis können wir sehen, dass wir Keime nehmen G der Garbe S. der Logarithmusfunktion, wie oben beschrieben, und wandle sie in eine Potenzreihe um f((z) dann hat diese Funktion die Eigenschaft, dass exp (f((z)) = z. Wenn wir uns entschieden hätten, eine Version des inversen Funktionssatzes für analytische Funktionen zu verwenden, könnten wir eine Vielzahl von Inversen für die Exponentialkarte konstruieren, aber wir würden feststellen, dass sie alle durch einen Keim in dargestellt werden S.. In diesem Sinne, S. ist der “eine wahre Umkehrung” der Exponentialkarte.

In der älteren Literatur wurden Garben analytischer Funktionen genannt mehrwertige Funktionen. Siehe Garbe für das allgemeine Konzept.

Natürliche Grenze[edit]

Angenommen, eine Potenzreihe hat einen Konvergenzradius r und definiert eine analytische Funktion f in dieser Scheibe. Betrachten Sie Punkte auf dem Konvergenzkreis. Ein Punkt, für den es eine Nachbarschaft gibt, auf der f hat eine analytische Erweiterung ist regulär, Andernfalls Singular. Der Kreis ist a natürliche Grenze wenn alle seine Punkte singulär sind.

Allgemeiner können wir die Definition auf jede offene verbundene Domäne anwenden, auf der f ist analytisch und klassifiziert die Punkte der Grenze der Domäne als regulär oder singulär: Die Domänengrenze ist dann eine natürliche Grenze, wenn alle Punkte singulär sind. In diesem Fall ist die Domäne a Domäne der Holomorphie.

Beispiel I: Eine Funktion mit einer natürlichen Grenze bei Null (die primäre Zeta-Funktion)[edit]

Zum

ℜ((s)>1{ displaystyle Re (s)> 1}

P.((s){ displaystyle P (s)}

, sein

P.((s): =∑p Primep– –s.{ displaystyle P (s): = sum _ {p { text {prime}}} p ^ {- s}.}

Diese Funktion ist analog zur Summationsform der Riemannschen Zeta-Funktion, wenn

ℜ((s)>1{ displaystyle Re (s)> 1}

ζ((s){ displaystyle zeta (s)}

, außer bei Indizes, die nur auf die Primzahlen beschränkt sind, anstatt die Summe über alle positiven natürlichen Zahlen zu ziehen. Die primäre Zetafunktion hat eine analytische Fortsetzung aller Komplexe s so dass

0ℜ((s)1{ displaystyle 0

eine Tatsache, die sich aus dem Ausdruck von ergibt

P.((s){ displaystyle P (s)}

durch die Logarithmen der Riemannschen Zeta-Funktion als

P.((s)=∑n≥1μ((n)Log⁡ζ((ns)n.{ displaystyle P (s) = sum _ {n geq 1} mu (n) { frac { log zeta (ns)} {n}}.}

Schon seit

ζ((s){ displaystyle zeta (s)}

hat eine einfache, nicht abnehmbare Stange an

s: =1{ displaystyle s: = 1}

kann man dann sehen, dass

P.((s){ displaystyle P (s)}

hat eine einfache Stange an

s: =1k,∀k∈Z.+{ displaystyle s: = { tfrac {1} {k}}, forall k in mathbb {Z} ^ {+}}

. Da die Menge der Punkte

SingenP.: ={k– –1::k∈Z.+}}={1,12,13,14,…}}{ displaystyle operatorname {Sing} _ {P}: = left {k ^ {- 1}: k in mathbb {Z} ^ {+} right } = left {1, { frac {1} {2}}, { frac {1} {3}}, { frac {1} {4}}, ldots right }}

hat Akkumulationspunkt 0 (die Grenze der Sequenz als

k↦∞{ displaystyle k mapsto infty}

) können wir sehen, dass Null eine natürliche Grenze für bildet

P.((s){ displaystyle P (s)}

. Dies impliziert das

P.((s){ displaystyle P (s)}

hat keine analytische Fortsetzung für s links von (oder bei) Null, dh es ist keine Fortsetzung möglich für

P.((s){ displaystyle P (s)}

wann

0≥ℜ((s){ displaystyle 0 geq Re (s)}

. Als Bemerkung kann diese Tatsache problematisch sein, wenn wir ein komplexes Konturintegral über ein Intervall ausführen, dessen Realteile beispielsweise um Null symmetrisch sind

ichF.⊆C. so dass ℜ((s)∈((– –C.,C.),∀s∈ichF.{ displaystyle I_ {F} subseteq mathbb {C} { text {so dass}} Re (s) in (-C, C), forall s in I_ {F}}

für einige

C.>0{ displaystyle C> 0}

P.((s){ displaystyle P (s)}

in einer wesentlichen Weise.

Beispiel II: Eine typische lakunäre Reihe (natürliche Grenze als Teilmengen des Einheitskreises)[edit]

Für ganze Zahlen

c≥1{ displaystyle c geq 1}

definieren wir die lakunäre Ordnungsreihe c durch die Potenzreihenerweiterung

L.c((z): =∑n≥1zcn,|z|1.{ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z): = sum _ {n geq 1} z ^ {c ^ {n}}, | z |

Klar, da

cn+1=c⋅cn{ displaystyle c ^ {n + 1} = c cdot c ^ {n}}

es gibt eine Funktionsgleichung für

L.c((z){ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}

für jeden z befriedigend

|z|1{ displaystyle | z |

gegeben durch

L.c((z)=zc+L.c((zc){ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z) = z ^ {c} + { mathcal {L}} _ {c} (z ^ {c})}

. Es ist auch nicht schwer, das für eine ganze Zahl zu sehen

m≥1{ displaystyle m geq 1}

haben wir eine andere Funktionsgleichung für

L.c((z){ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}

gegeben durch

L.c((z)=∑ich=0m– –1zcich+L.c((zcm),∀|z|1.{ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z) = sum _ {i = 0} ^ {m-1} z ^ {c ^ {i}} + { mathcal {L}} _ {c} (z ^ {c ^ {m}}), forall | z |

Für alle positiven natürlichen Zahlen chat die lakunäre Serienfunktion einen einfachen Pol bei

z: =1{ displaystyle z: = 1}

. Wir betrachten die Frage der analytischen Fortsetzung von

L.c((z){ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}

zu anderen Komplexen z so dass

|ℜ((z)|>1.{ displaystyle | Re (z) |> 1.}

n≥1{ displaystyle n geq 1}

, der Satz von

cn{ displaystyle c ^ {n}}

-th Wurzeln der Einheit legen der Funktion eine natürliche Grenze

L.c((z){ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}

. Daher ist seit dem Satz der Vereinigung all dieser Wurzeln der Einheit vorbei

n≥1{ displaystyle n geq 1}

Ist an der Grenze des Einheitskreises dicht, haben wir keine mögliche analytische Fortsetzung von

L.c((z){ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}

zu komplex z deren Realteile einen überschreiten.

Der Beweis dieser Tatsache wird aus einem Standardargument für den Fall verallgemeinert, in dem

c: =2.{ displaystyle c: = 2.}

[1] Nämlich für ganze Zahlen

n≥1{ displaystyle n geq 1}

, Lassen

R.c,n: ={z∈D.∪∂D.::zcn=1}},{ displaystyle { mathcal {R}} _ {c, n}: = left {z in mathbb {D} cup partiell { mathbb {D}}: z ^ {c ^ {n} } = 1 right },}

wo

D.{ displaystyle mathbb {D}}

bezeichnet die offene Einheitsscheibe in der komplexen Ebene und

|R.c,n|=cn{ displaystyle | { mathcal {R}} _ {c, n} | = c ^ {n}}

dh es gibt

cn{ displaystyle c ^ {n}}

verschiedene komplexe Zahlen z die auf oder innerhalb des Einheitskreises liegen, so dass

zcn=1{ displaystyle z ^ {c ^ {n}} = 1}

. Der Schlüssel zum Beweis besteht nun darin, die Funktionsgleichung für zu verwenden

L.c((z){ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}

wann

|z|1{ displaystyle | z |

zu zeigen, dass

∀z∈R.c,n,L.c((z)=∑ich=0cn– –1zcich+L.c((zcn)=∑ich=0cn– –1zcich+L.c((1)=+∞.{ displaystyle forall z in { mathcal {R}} _ {c, n}, qquad { mathcal {L}} _ {c} (z) = sum _ {i = 0} ^ {c ^ {n} -1} z ^ {c ^ {i}} + { mathcal {L}} _ {c} (z ^ {c ^ {n}}) = sum _ {i = 0} ^ { c ^ {n} -1} z ^ {c ^ {i}} + { mathcal {L}} _ {c} (1) = + infty.}

Somit gibt es für jeden Bogen an der Grenze des Einheitskreises eine unendliche Anzahl von Punkten z innerhalb dieses Bogens so, dass

|L.c((z)|=+∞{ displaystyle | { mathcal {L}} _ {c} (z) | = + infty}

. Diese Bedingung entspricht der Aussage, dass der Kreis

C.1: ={z::|z|=1}}{ displaystyle C_ {1}: = {z: | z | = 1 }}

bildet eine natürliche Grenze für die Funktion

L.c((z){ displaystyle { mathcal {L}} _ {c} (z)}

für jede feste Wahl von

c∈Z.+.{ displaystyle c in mathbb {Z} ^ {+}.}

Daher gibt es für diese Funktionen keine analytische Fortsetzung über das Innere des Einheitskreises hinaus.

Monodromiesatz[edit]

Der Monodromiesatz liefert eine ausreichende Bedingung für die Existenz von a direkte analytische Fortsetzung (dh eine Erweiterung einer Analysefunktion auf eine Analysefunktion in einem größeren Satz).

Annehmen

D.⊂C.{ displaystyle D subset mathbb {C}}

ist ein offener Satz und f eine analytische Funktion auf D.. Wenn G ist eine einfach verbundene Domain, die enthält D., so dass f hat eine analytische Fortsetzung auf jedem Weg in Gausgehend von einem festen Punkt ein im D., dann f hat eine direkte analytische Fortsetzung zu G.

In der obigen Sprache bedeutet dies, dass wenn G ist eine einfach verbundene Domain und S. ist eine Garbe, deren Satz von Basispunkten enthält Gdann gibt es eine analytische Funktion f auf G deren Keime gehören zu S..

Hadamards Lückensatz[edit]

Für eine Potenzreihe

f((z)=∑k=0∞einkznk{ displaystyle f (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {n_ {k}}}

mit

lim infk→∞nk+1nk>1{ displaystyle liminf _ {k to infty} { frac {n_ {k + 1}} {n_ {k}}}> 1}

Pólyas Satz[edit]

Lassen

f((z)=∑k=0∞αk((z– –z0)k{ displaystyle f (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}

Sei eine Potenzreihe, dann gibt es sie εk ∈ {−1, 1} so dass

f((z)=∑k=0∞εkαk((z– –z0)k{ displaystyle f (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} varepsilon _ {k} alpha _ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}

hat die Konvergenzscheibe von f um z0 als natürliche Grenze.

Der Beweis dieses Theorems verwendet Hadamards Gap-Theorem.

Ein nützlicher Satz: Eine ausreichende Bedingung für die analytische Fortsetzung der nicht positiven ganzen Zahlen[edit]

In den meisten Fällen ist eine analytische Fortsetzung einer komplexen Funktion durch eine Integralformel gegeben. Der nächste Satz liefert, sofern seine Hypothesen erfüllt sind, eine ausreichende Bedingung, unter der wir eine analytische Funktion von ihren konvergenten Punkten entlang der positiven Realzahlen bis zu willkürlichen fortsetzen können

s∈C.{ displaystyle s in mathbb {C}}

(mit Ausnahme von endlich vielen Polen). Darüber hinaus gibt die Formel eine explizite Darstellung der Werte der Fortsetzung der nicht positiven ganzen Zahlen, die genau durch Ableitungen höherer Ordnung (ganze Zahlen) der ursprünglichen Funktion ausgedrückt werden, die bei Null bewertet werden.[2]

Hypothesen des Satzes[edit]

Wir benötigen eine Funktion

F.::R.+→C.{ displaystyle F: mathbb {R} ^ {+} to mathbb {C}}

erfüllt die folgenden Bedingungen, um den Satz auf die Fortsetzung dieser unten angegebenen Funktion anzuwenden:

  • (T-1). Die Funktion muss kontinuierliche Ableitungen aller Ordnungen haben, dh
    F.∈C.∞((R.+){ displaystyle F in { mathcal {C}} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {+})}

    . Mit anderen Worten, für beliebige Ganzzahlen j≥1{ displaystyle j geq 1}

    , die Integralordnung jth{ displaystyle j ^ {th}}

    Derivat F.((j)((x)=d((j)dx((j)[F(x)]{ displaystyle F ^ {(j)} (x) = { frac {d ^ {(j)}} {dx ^ {(j)}}}[F(x)]}}

    muss existieren, kontinuierlich sein R.+{ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}

    und selbst differenzierbar sein, so dass alle Ableitungen höherer Ordnung von F. sind glatte Funktionen von x auf die positiven reellen Zahlen;
  • (T-2). Wir benötigen die Funktion F. ist schnell abnehmend darin für alle
    n∈Z.+{ displaystyle n in mathbb {Z} ^ {+}}

    wir erhalten das einschränkende Verhalten, das ℜ((s)>0{ displaystyle Re (s)> 0}

    s∈{ζ1((F.),ζ2((F.),…,ζk((F.)}}{ displaystyle s in { zeta _ {1} (F), zeta _ {2} (F), ldots, zeta _ {k} (F) }}

    (oder für alle s mit positiven Realteilen, außer möglicherweise bei einer endlichen Anzahl außergewöhnlicher Pole):
M.~[F]((s){ displaystyle { widetilde { mathcal {M}}}[F](s)}

hat eine meromorphe Fortsetzung zur komplexen Ebene C.∖{ζ1((F.),…,ζk((F.)}}{ displaystyle mathbb {C} setminus { zeta _ {1} (F), ldots, zeta _ {k} (F) }}

. Darüber hinaus haben wir das für jeden nicht negativen n∈Z.{ displaystyle n in mathbb {Z}}

, die Fortsetzung von F. am Punkt s: =– –n{ displaystyle s: = – n}

wird explizit durch die Formel angegeben
M.~[F]((– –n)=((– –1)n×F.((n)((0)≡((– –1)n×∂n∂xn[F(x)]|x=0.{ displaystyle { widetilde { mathcal {M}}}[F](-n) = (- 1) ^ {n} mal F ^ {(n)} (0) äquiv (-1) ^ {n} mal { frac { partiell ^ {n}} {{ partielle x} ^ {n}}} left[F(x)right]| _ {x = 0}.}

Beispiele[edit]

Beispiel I: Die Verbindung der Riemannschen Zetafunktion mit den Bernoulli-Zahlen[edit]

Wir können den Satz auf die Funktion anwenden

F.ζ((x): =xex– –1=∑n≥0B.nxnn!,{ displaystyle F _ { zeta} (x): = { frac {x} {e ^ {x} -1}} = sum _ {n geq 0} B_ {n} { frac {x ^ { n}} {n!}},}

was der exponentiellen Erzeugungsfunktion der Bernoulli-Zahlen entspricht,

B.n{ displaystyle B_ {n}}

. Zum ℜ((s)>1{ displaystyle Re (s)> 1}

ζ((s)=M.~[Fζ]((s){ displaystyle zeta (s) = { widetilde { mathcal {M}}}[F_{zeta }](s)}

, da wir berechnen können, dass die nächste Integralformel für die reziproken Potenzen der ganzen Zahlen n≥1{ displaystyle n geq 1}

gilt für s in diesem Bereich:
1ns=1Γ((s)∫0+∞ts– –1e– –ntdt,ℜ((s)>1.{ displaystyle { frac {1} {n ^ {s}}} = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ {+ infty} t ^ {s-1 } e ^ {- nt} dt, Re (s)> 1.}

ζ((s){ displaystyle zeta (s)}

wann immer ℜ((s)>1{ displaystyle Re (s)> 1}

ζ((s)=1((s– –1)M.~[Fζ]((s– –1).{ displaystyle zeta (s) = { frac {1} {(s-1)}} { widetilde { mathcal {M}}}[F_{zeta }](s-1).}

Darüber hinaus seit

et≫tn{ displaystyle e ^ {t} gg t ^ {n}}

für jede feste ganzzahlige Polynomleistung von ttreffen wir die Hypothese des Satzes, der dies erfordert

ζ((– –n)=– –1n+1M.~[Fζ]((– –n– –1)=((– –1)nn+1F.ζ((n+1)((0)={– –12,n=0;;∞,n=1;;– –B.n+1n+1,n≥2.{ displaystyle zeta (-n) = – { frac {1} {n + 1}} { widetilde { mathcal {M}}}[F_{zeta }](-n-1) = { frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} F _ { zeta} ^ {(n + 1)} (0) = { begin {case} – { frac {1} {2}}, & n = 0; \ infty, & n = 1; \ – { frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}, & n geq 2. end {Fälle}}}

Beispiel II: Eine Interpretation von F. als Summationsfunktion für eine arithmetische Folge[edit]

Nehme an, dass F. ist eine glatte, ausreichend abnehmende Funktion auf den positiven Realwerten, die die zusätzliche Bedingung erfüllt, dass

Δ[F]((x– –1)=F.((x)– –F.((x– –1)=:f((x),∀x∈Z.+.{ displaystyle Delta [F](x-1) = F (x) -F (x-1) =: f (x), für alle x in mathbb {Z} ^ {+}.}

In der Anwendung auf zahlentheoretische Kontexte betrachten wir solche F. die summatorische Funktion der arithmetischen Funktion sein f,

F.((x): =∑n≥x‘f((n){ displaystyle F (x): = { sum _ {n geq x}} ^ { prime} f (n)}

wohin wir nehmen

F.((x)=0,∀0x1{ displaystyle F (x) = 0, forall 0

und die Prim-Notation auf der vorherigen Summe entspricht den Standardkonventionen, die verwendet werden, um Perrons Theorem zu formulieren:

F.f((x): =∑n≤x‘f((n)={∑n≤[x]f((n),x∈R.+∖Z.;;∑n≤xf((n)– –f((x)2,x∈R.+∩Z..{ displaystyle F_ {f} (x): = { sum _ {n leq x}} ^ { prime} f (n) = { begin {case} sum _ {n leq [x]} f (n), & x in mathbb {R} ^ {+} setminus mathbb {Z}; \ sum _ {n leq x} f (n) – { frac {f (x) } {2}}, & x in mathbb {R} ^ {+} cap mathbb {Z}. End {case}}}

Wir sind an der analytischen Fortsetzung der DGF von interessiert foder gleichwertig mit der Dirichlet-Serie vorbei f beim s,

D.f((s): =∑n≥1f((n)ns.{ displaystyle D_ {f} (s): = sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s}}}.}

Typischerweise haben wir einen bestimmten Wert der Konvergenzabszisse,

σ0,f>0{ displaystyle sigma _ {0, f}> 0}

D.f((s){ displaystyle D_ {f} (s)}

ist absolut konvergent für alle komplexen s befriedigend

ℜ((s)>σ0,f{ displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}

D.f((s){ displaystyle D_ {f} (s)}

wird angenommen, eine Stange an zu haben

s: =±σ0,f{ displaystyle s: = pm sigma _ {0, f}}

und damit die erste Dirichlet-Serie für

D.f((s){ displaystyle D_ {f} (s)}

divergiert für alle s so dass

ℜ((s)≤σ0,f{ displaystyle Re (s) leq sigma _ {0, f}}

. Es ist bekannt, dass es eine Beziehung zwischen der Mellin-Transformation der summatorischen Funktion von irgendjemandem gibt f zur Fortsetzung seiner DGF bei

s↦– –s{ displaystyle s mapsto -s}

der Form:

D.f((s)=M.[F]((– –s)=∫1∞F.f((s)xs+1dx{ displaystyle D_ {f} (s) = { mathcal {M}}[F](-s) = int _ {1} ^ { infty} { frac {F_ {f} (s)} {x ^ {s + 1}}} dx}

Das heißt, vorausgesetzt

D.f((s){ displaystyle D_ {f} (s)}

hat eine Fortsetzung der komplexen Ebene links vom Ursprung, können wir die summatorische Funktion von jedem ausdrücken f durch die inverse Mellin-Transformation der DGF von f weiter zu s mit Realteilen kleiner als Null als:[3]

F.f((x)=M.– –1[M[Ff]((– –s)]]((x)=M.– –1[Df(−s)]((x).{ displaystyle F_ {f} (x) = { mathcal {M}} ^ {- 1} left[{mathcal {M}}[F_{f}](-s) right](x) = { mathcal {M}} ^ {- 1}[D_{f}(-s)](x).}

Wir können die DGF oder Dirichlet-Erzeugungsfunktion von jedem vorgeschriebenen bilden f angesichts unserer reibungslosen Zielfunktion F. durch Summieren nach Teilen als

D.f((s)=1Γ((s)∫0+∞((∑n≥1((F.((n)– –F.((n– –1))e– –nt)tsdt=1Γ((s)∫0∞limN.→∞[F(N)e−Nt+∑k=0N−1F(k)e−kt(1−e−t)]dt=1Γ((s)∫0∞ts– –1((1– –e– –t)∫0∞F.((r/.t)e– –rdrdt=1Γ((s)∫0∞ts– –1((1– –e– –t)F.~((1t)dt=1Γ((s)∫0∞((1– –e– –1/.u)us((1– –u)F.((u1– –u)du,{ displaystyle { begin {align} D_ {f} (s) & = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ {+ infty} left ( sum _ {n geq 1} (F (n) -F (n-1)) e ^ {- nt} rechts) t ^ {s} dt \ & = { frac {1} { Gamma (s) }} int _ {0} ^ { infty} lim _ {N to infty} left[F(N)e^{-Nt}+sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{-kt}left(1-e^{-t}right)right]dt \ & = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ { infty} t ^ {s-1} (1-e ^ {- t}) int _ {0} ^ { infty} F (r / t) e ^ {- r} drdt \ & = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ { infty} t ^ {s-1} left (1-e ^ {- t} right) { widetilde {F}} left ({ frac {1} {t}} right) dt \ & = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ { infty} { frac { left (1-e ^ {- 1 / u} right)} {u ^ {s } (1-u)}} F left ({ frac {u} {1-u}} right) du, end {align}}}

wo

F.^((x)≡L.[F]((x){ displaystyle { hat {F}} (x) equiv { mathcal {L}}[F](x)}

ist die Laplace-Borel-Transformation von F., was wenn

F.((z): =∑n≥0fnn!zn{ displaystyle F (z): = sum _ {n geq 0} { frac {f_ {n}} {n!}} z ^ {n}}

entspricht der exponentiellen Erzeugungsfunktion einer durch aufgezählten Sequenz

fn/.n!=F.((n)((0)/.n!{ displaystyle f_ {n} / n! = F ^ {(n)} (0) / n!}

(wie durch die Taylor-Reihenerweiterung von vorgeschrieben F. dann ungefähr Null)

F.~((z)=∑n≥0fnzn{ displaystyle { widetilde {F}} (z) = sum _ {n geq 0} f_ {n} z ^ {n}}

ist seine gewöhnliche Erzeugungsfunktionsform über der Sequenz, deren Koeffizienten durch aufgezählt werden

[zn]F.~((z)≡fn=F.((n)((0){ displaystyle [z^{n}]{ widetilde {F}} (z) equiv f_ {n} = F ^ {(n)} (0)}

.

Daraus folgt, wenn wir schreiben

GF.((x): =x1– –xF.((x1– –x)=∑n≥0((∑k=0n((nk)[zk]F.((z))xn+1,{ displaystyle G_ {F} (x): = { frac {x} {1-x}} F left ({ frac {x} {1-x}} right) = sum _ {n geq 0} left ( sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}}[z^{k}]F (z) rechts) x ^ {n + 1},}

alternativ als vorzeichenbehaftete Variante der Binomialtransformation von interpretiert F., dann können wir die DGF als die folgende Mellin-Transformation bei ausdrücken

– –s{ displaystyle -s}

::

D.f((s)=M.[GF]((– –s)M.[1−e−1/x]((– –s)=M.[GF]((– –s)s– –1((1– –Γ((s)){ displaystyle { begin {align} D_ {f} (s) & = { mathcal {M}}[G_{F}](-s) { mathcal {M}} left[1-e^{-1/x}right](-s) \ & = { frac {{ mathcal {M}}[G_{F}](-s)} {s-1}} left (1- Gamma (s) right) end {align}}}

Schließlich hat die Gammafunktion eine meromorphe Fortsetzung zu

C.∖N.{ displaystyle mathbb {C} setminus mathbb {N}}

, für alle

s∈C.∖{0,1,2,…}},{ displaystyle s in mathbb {C} setminus {0,1,2, ldots },}

Wir haben eine analytische Fortsetzung der DGF für f beim -s der Form

D.f((– –s)=– –1– –Γ((– –s)s+1M.[GF]((s),{ displaystyle D_ {f} (- s) = – { frac {1- Gamma (-s)} {s + 1}} { mathcal {M}}[G_{F}](s),}

wo eine Formel für

D.f((– –n){ displaystyle D_ {f} (- n)}

für nicht negative ganze Zahlen n wird nach der Formel im Satz als gegeben

D.f((– –n)=((– –1)ndndxn[(1−e−1/x)x1−xF(x1−x)]|x=0.{ displaystyle D_ {f} (- n) = (- 1) ^ {n} { frac {d ^ {n}} {{dx} ^ {n}}} left[left(1-e^{-1/x}right){frac {x}{1-x}}Fleft({frac {x}{1-x}}right)right]{ Biggr |} _ {x = 0}.}

Darüber hinaus vorausgesetzt, dass die arithmetische Funktion f befriedigt

f((1)≠1{ displaystyle f (1) neq 1}

so dass seine Dirichlet-Inversfunktion existiert, ist die DGF von

f– –1{ displaystyle f ^ {- 1}}

wird fortgesetzt irgendein

s∈C.∩{z::ℜ((z)∈((– –∞,– –σ0,f)∪((σ0,f,+∞)}}{ displaystyle s in mathbb {C} cap {z: Re (z) in (- infty, – sigma _ {0, f}) cup ( sigma _ {0, f} , + infty) }}

, das ist jeder Komplex s ohne s in einem f-definiert oder anwendungsabhängig f-spezifischer, sogenannter kritischer Streifen zwischen den vertikalen Linien

z=±σ0,f{ displaystyle z = pm sigma _ {0, f}}

und der Wert dieser Umkehrfunktion DGF wenn

ℜ((s)– –σ0,f{ displaystyle Re (s)

ist gegeben durch [4]

D.f– –1((– –s)={0,n∈N.;;– –s+11– –Γ((– –s)M.[GF−1]((s),Andernfalls.{ displaystyle D_ {f ^ {- 1}} (- s) = { begin {case} 0, & n in mathbb {N}; \ – { frac {s + 1} {1- Gamma (-s)}} { mathcal {M}}[G_{F}^{-1}](s), & { text {sonst.}} end {Fälle}}}

Fortsetzung der DGF der Dirichlet-Inversfunktion zu s darin f-definiert kritischer Streifenmüssen wir einige Kenntnisse über eine Funktionsgleichung für die DGF benötigen,

D.f((s){ displaystyle D_ {f} (s)}

, das erlaubt uns, die s so dass die Dirichlet-Reihe, die diese Funktion anfänglich definiert, absolut konvergent zu den Werten von ist s innerhalb dieses Streifens – im Wesentlichen eine Formel, die das vorsieht

D.f((s)=ξf((s)×D.f((σ0,f– –s){ displaystyle D_ {f} (s) = xi _ {f} (s) mal D_ {f} ( sigma _ {0, f} -s)}

ist erforderlich, um die DGF in diesem Streifen zu definieren.[5]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Siehe das Beispiel auf der MathWorld Seite für natürliche Grenze.
  2. ^ Siehe den Artikel Fontaines Ringe und p-adische L-Funktionen von Pierre Colmez gefunden bei dieser Link (Kursnotizen PDF vom 2004).
  3. ^ Tatsächlich kann viel mehr über die Eigenschaften solcher Beziehungen zwischen den Fortsetzungen einer DGF und der summatorischen Funktion einer Arithmetik gesagt werden f – und eine kurze Liste und Kompendien von Identitäten finden Sie auf der funktionierenden Sandbox-Seite unter Inversion der Dirichlet-Serie. Einige interessante Paare der Inversionsbeziehungen von Summationsfunktion zu DGF, die in nicht standardmäßigen Anwendungen auftreten, umfassen:
    ((F.f((x),D.f((s))∈{((M.((x),1/.ζ((s)),((π((x),P.((s)),((Π0((x),Log⁡ζ((s))}}{ Anzeigestil (F_ {f} (x), D_ {f} (s)) in left {(M (x), 1 / zeta (s)), ( pi (x), P ( s)), ( Pi _ {0} (x), log zeta (s)) right }}

    , wo M.((x){ displaystyle M (x)}

    ist die Mertens-Funktion oder die Summationsfunktion der Möbius-Funktion, P.((s){ displaystyle P (s)}

    ist die primäre Zetafunktion und Π0((x){ displaystyle Pi _ {0} (x)}

    ist die Riemannsche Primzählfunktion.
  4. ^ Eine Beobachtung darüber, wie man in Einklang bringt, wie die Werte dieser analytisch fortgesetzten DGF mit dem übereinstimmen, was wir über das Mellin-Integral der summatorischen Funktion von wissen fWir beobachten, dass wir das haben sollten
    D.f((– –s)=– –s∫1∞xs– –1F.f((x)dx.{ displaystyle D_ {f} (- s) = – s int _ {1} ^ { infty} x ^ {s-1} F_ {f} (x) dx.}

  5. ^ Es wird festgestellt, dass diese Konstruktion der bekannten Funktionsgleichung für die Riemannsche Zeta-Funktion ähnlich ist, die sich bezieht
    ζ((s){ displaystyle zeta (s)}

    zum 1ℜ((s)2{ displaystyle 1

    zu den Werten von ζ((1– –s){ displaystyle zeta (1-s)}

    zum 01– –s1{ displaystyle 0

    im klassischen kritischen Streifen, wo wir alle nicht trivialen Nullen dieser Zeta-Funktion finden können.
  • Lars Ahlfors (1979). Komplexe Analyse (3. Aufl.). McGraw-Hill. S. 172, 284.
  • Ludwig Bieberbach (1955). Analytische Fortsetzung. Springer-Verlag.
  • P. Dienes (1957). Die Taylor-Reihe: eine Einführung in die Funktionstheorie einer komplexen Variablen. New York: Dover Publications, Inc.

Externe Links[edit]